Introducción a las Cónicas

Apolonio de Perga nació en el año 262 a.C., en Panfilia (la actual Antalya, Turquía), estudió en el Museo de Alejandría con los discípulos de Euclides, y residió tanto en Alejandría como en Éfeso y Pérgamo. Esta última poseía una Biblioteca y una Escuela del Saber, similares a las de Alejandría, ciudad donde murió el año 190 a.C.

Entre sus muchas obras la más conocida es  "Las Cónicas", obra cumbre de la matemática griega junto con "Los elementos", de Euclides, los grandes tratados de Arquímedes, el "Almagesto", de Ptolomeo, etc.

Apolonio demostró en sus "Cónicas" que de un cono pueden obtenerse cuatro tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono; esta demostración supuso un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los diferentes tipos de curvas, y esta importancia se reveló casi 2000 años después cuando Kepler o Newton descubrieron el papel fundamental de la mecánica celeste.

Las secciones cónicas se conocían ya desde hacía más o menos un siglo y medio cuando Apolonio compuso su famosos tratado sobre estas curvas pero sus obras desplazaron a todos sus rivales en este campo, incluyendo las Cónicas de Euclides, y al parecer no se hizo ningún otro intento de mejorarlas en la antigüedad.

Anteriormente a Apolonio, la elipse, la parábola y la hipérbola se obtenían como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos distintos según el ángulo en el vértice fuese agudo, recto u obtuso. Parece ser que Apolonio demostró por primera y de una manera sistemática que no es necesario considerar exclusivamente secciones perpendiculares a una generatriz del cono, y que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas sin más que variar la inclinación del plano que corta al cono; éste era un paso muy importante en el proceso de unificar los tres tipos de curvas en cuestión.

Apolonio demostró que el cono no necesita ser un cono recto, es decir, tal que su eje sea perpendicular al plano de su base circular, sino que puede igualmente tomarse de entrada un cono circular oblicuo o escaleno. Fue el primer geómetra que demostró que las propiedades de estas curvas son las mismas, se obtengan como secciones de conos oblicuos o de conos rectos.

Apolonio llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja por un cono de dos hojas (par de conos orientados en sentido opuesto, con vértices coincidentes y ejes sobre la misma recta). Este cambio en el punto de vista convierte a la hipérbola en la curva de dos ramas tal como la conocemos hoy.

Recordemos lo que era una generatriz. El cono es un cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos, que será la altura del cono y la hipotenusa será la generatriz.

Una manera de introducir las cónicas puede ser utilizando esta idea, construyendo conos de plastilina o de papel y cortando con las distintas inclinaciones. El hecho de que los alumnos manipulen elementos les hará interesarse por el tema y podrán así ir descubriendo el mundo de las cónicas, que además con este método se ve muy claro qué cónica va resultando.

 

La primera cónica es la circunferencia, que se obtiene trazando un plano de corte horizontal, es decir, el plano que corta a la superficie cónica es perpendicular al eje.

 

La siguiente cónica es la elipse. Se construye inclinado el plano de modo que sea oblicuo con el eje y corte a todas las generatrices.

 

Si continuamos inclinando el plano de modo que sea oblicuo con el eje y que sea paralelo a una generatriz, resulta una parábola.

Por último, nos quedaría nombrar la hipérbola. Si inclinamos aún más el plano, de modo que sea paralelo a dos generatrices obtenemos las dos ramas de la hipérbola.